数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。主要的子研究领域有模型论，证明论，集合论和可计算性理论。数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学。数理逻辑一般着重于研究公理系统的推断能力和表达能力。它也包括分析正确的数学推断来构筑数学基础。

集合论通常被用作整个数学的基础系统，特别是以具有选择公理的Zermelo–Fraenkel集合论的形式。集合论除了其基础性作用外，还为发展无穷大数学理论提供了框架，并在计算机科学（如关系代数理论）、哲学和形式语义学中有各种应用。它的基本吸引力，加上它的悖论，它对无穷大概念的含义及其多重应用，使集合论成为逻辑学家和数学哲学家的主要兴趣领域。

整数数论（或旧用法中的算术或更高的算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（1777–1855）说：“数学是科学的女王，数论是数学的女王。”数论者研究素数以及由整数（例如有理数）组成或定义为整数的推广（例如代数整数）的数学对象的性质。

数字系统包括实数和虚数。实数包括有理数和无理数。无理数是无限的非循环小数，有理数包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为与数线上的点一一对应的数字。实数可以分为有理数和无理数，或者代数数和超越数，或者正数、负数和零。