数学枯燥吗？

我们应该换个角度看这个问题。

在某种程度上讲，数学与诗歌有相似性：简洁、凝练、抽象……

数学与人文，并非完全割离。

在数学身上，我们发现与诗歌相似的“美”。

以一首人文诗词为例——大漠孤烟直，长河落日圆。

这首诗描绘了雄阔、壮美的大漠图景。

从几何学角度上看，“大漠”可视为平面，“孤烟”垂直于地面的直线（图1）。

第二句将横卧长河视为一条直线，下沉落日被视为一个圆，“长河落日圆”便是一个圆切于一条直线（图2）。

两图对照，泾渭分明，简洁明了，刚柔相济。

自然的景致都会在历史波涛中湮没，

江渚上的白发渔樵都会成过眼烟云，

只有抽象出来的美感才会永垂不朽！

“大漠孤烟直，长河落日圆”正是几何学的高度凝练，人文与数学的美在这里相聚，才拥有了震撼千古的艺术魅力！

很多人因为应试原因忽略了数学之美，这是一种遗憾。

这一次，小北联合量子学派，携手43位数理领域教授、专家出版的《公式之美》，每一个公式都有一幅数学画，让更多人领略数理之美。

01

1+1=2

发现者 ？

发现时间 ？

公式图解

插图的中心位置，古埃及人从尼罗河捕捉了三条鱼，第三条鱼的处理却成了最大难题。

古埃及人如何处理第三条鱼已经无从考究，但祖先们在有了“数量”概念后意识到1+1=2，从此打开数学的大门。

看似简单却是数学最原始的种子，让人类具备了超越其它种族的高维能力。

在历史波涛翻滚的长河中，这颗数学的种子开始生根发芽……

1+1=2，成为人类文明的基石之一。

02

毕达哥拉斯定理

Pythagorean theorem

发现者 毕达哥拉斯、商高

发现时间 大约公元前500年

公式图解

插图中一只超现实的眼睛正在凝视，在它下方的两个小正方形注满水后，它们相加的注水量与它们垂直两边所构成的直角三角形的大正方形的注水量相等，形象得出勾股定理的推导。

在它之下面是“毕达哥拉斯树”，他证明对一切直角三角形来说，a²+b²=c²。插画右上角的位置是商周时期的甲骨文，商周时贵公子商高也曾提出“勾三股四弦五”。

a²+b²=c²，是人类历史上第一次将“数”与“形”相结合。

03

费马大定理

Fermat's last theorem

发现者 费马

发现时间 1637年

公式图解

插画中央是时间指针，转动着跨越358年的时间圆盘。

圆盘左侧是“业余数学家之王”费马，他提出的“费马大定理”开启了这个跨越358年的时间圆盘，留下了“对此我已经找到了一个绝妙的证明方法，我写不下，就不写了”的世纪名言。

许多数学家在解密过程中没能解开“费马大定理”，却创立了许多新的数学理论，故“费马大定理”也被称为“会下金蛋的鹅”。

圆盘右侧坐在破碎金蛋上的是怀尔斯，358年智力接力赛由他终结，但“金蛋传奇”仍在继续，椭圆曲线便是其一，它在非对称加密领域大放异彩，被密码学朋克们应用于比特币，使比特币成为数学上牢不可破的“数学黄金”。

04

微积分

Calculus

发现者 牛顿、莱布尼茨

发现时间 1684年

公式图解

插图中，一只短腿乌龟奋力爬行，海神之子“阿喀琉斯”正打算追上它。

根据“芝诺悖论”，阿喀琉斯永远都无法追上小乌龟。

插图左侧抛出苹果的是牛顿，与之相对的则是抛出“二进制”的莱布尼茨。在苹果与“二进制”之间，则是著名的微积分公式。

牛顿与莱布尼茨都被数学界视为是微积分的发现者，两人曾因谁先发现微积分有过一场浩大持久的争夺战，但在溘然长逝之后，两人又因牛顿-莱布尼茨公式牢牢绑在一起。

微积分的出现，促成了后来一场场科学和技术领域的革命。

05

万有引力

Law of universal gravitation

发现者 牛顿

发现时间 1687年

公式图解

地球与一颗苹果牢牢地捆绑在一起，而将两者进行连接的正是牛顿。

牛顿推出万有引力定律，而引力一举成为四种作用力的基本力之一。

牛顿的万有引力定律一锤定音，他告诉人类，支配自然和宇宙的万物法则其实很简单。

在19世纪末，万有引力定律暴露出了它的局限性，有着无法触及的灰暗地带。

但万有引力如同画面中从苹果树到天空逐渐延伸的裂口，它劈开了愚昧混沌的黑暗，将光明带给人类。牛顿如同盗来火种的普罗米修斯，他赋予人类星火，将由人类燎原。

06

欧拉公式

Euler's formula

发现者 欧拉

发现时间 1748年

公式图解

欧拉穿过哥尼斯堡七桥，这七座别致的桥横跨普雷格尔河将四个区域连接起来，在所有人都尝试着不重复走遍七桥回到出发点失败时，右眼刚失明的欧拉将其巧化成几何问题，证明路线根本不存在，由此开创了数学的新分支——图论与几何拓扑。

欧拉公式便是其中一个表现，e^πi+1=0非常完美。

有着“上帝公式”之称的欧拉公式提出后有着深远的影响，不仅如此，欧拉一生孜孜不倦，他所留下的科学遗产仿若闪烁群星，即使欧拉长眠，但群星永不熄灭。

07

伽罗瓦理论

Galois theory

发现者 伽罗瓦

发现时间 1832年

公式图解

右侧男子开枪射击，子弹穿过五次方程，左侧男子应声倒下。

上方则是一名陷入挣扎的女子，显然两者正为之争夺。

倒下的男子是仅有21岁的伽罗瓦，死于与一段热恋相关的决斗中。在这场自知必死的决斗前夜，伽罗瓦奋笔疾书为世人留下了三十二页纸的论文。在1843年时，他留下的成果被肯定并公布于众，至此五次方程的神秘面纱也被揭开。

伽罗瓦理论所引入的“群”“域”等概念，成功的推开了现代群论这座辉煌宫殿的大门，拉开了现代数学的帷幕。

08

黎曼猜想

Riemann hypothesis

发现者 黎曼

发现时间 1859年

公式图解

黎曼踏上通往繁复奇妙的数学大厦阶梯，他来自更高维的世界，手拿一把钥匙，走向神秘之门。

这座数学大厦是由以黎曼提出的黎曼猜想为基础的一千多余数学命题所建立，黎曼手握着的精美钥匙，可以轻易打开这扇神秘大门。

但这座建立在黎曼猜想上的大厦并不是牢不可破，如果黎曼猜想被证实，大厦将永恒存在，反之，大厦将在一瞬间坍塌毁灭。

09

熵增定律

Second law of thermodynamics

发现者 克劳修斯

发现时间 1854年

公式图解

插图里充满着死亡、颓废的气息，挥散不去。

这也是“熵增定律”所想表达：熵增，永不可逆。

图中膨胀死尸环抱着的，恰恰是我们所处的宇宙。

灯亮的那一刻，宇宙大爆炸出现。从大爆炸的那一刻起，宇宙就成了一个无人打扫的陈年老屋，日积月累后灰尘满地，这就是熵增。

熵增定律让人类绝望。我们以为自己已经逐渐成为上帝，但面对熵增，却依旧像一个光脚的孩子，手足无措，面对宇宙最终走向寂灭，根本无能为力。

宇宙终将走向死亡，这是它的必然宿命。

10

麦克斯韦方程组

Maxwell's equations

发现者 麦克斯韦

发现时间 1865年

公式图解

一个电磁场呈现在人眼前，但更像是一束源源不断照射进宇宙的光。

关于电与磁的关系，前人踏过无数荆棘，才使得道路稍显平坦。

库伦、奥斯特、安培、法拉第……没能找到一种完美统一的描述。

最终麦克斯韦神奇地完成这一壮举——用他特有的数学语言，总结前辈们的各大定律，建立了电磁学微分方程组，将电场与磁场完美地融合在一起，统一了整个电磁场。

自此之后，宇宙间的任何电磁现象，皆可由此方程组解释。

上帝说要有光，便有了麦克斯韦方程组。

11

质能方程

mass-energy equivalence

发现者 爱因斯坦

发现时间 1905年

公式图解

清晰可见两朵腾空而上的蘑菇云，那是二战美国投放在日本长崎和广岛的两颗原子弹。

爆炸之后，尽是废墟。插图左下侧是一座被摧毁后的城市，破裂、残缺，无人幸存。

当蘑菇云腾空之后，死神静静地注视一切，在她眼中，一切都如此平常、安静。

在爱因斯坦提出质能方程前，人们认为质与能是两条互不干扰的平行线。但当爱因斯坦写下质能方程后，能量与质量才合为一个整体——质能。其看似简洁，却能够描写一个小到原子，大到整个宇宙的世界。一粒尘埃，也蕴含着人类无法想象的巨大能量。

这是公式，人类打开了潘多拉的魔盒。

12

薛定谔方程

Schrödinger equation

发现者 薛定谔

发现时间 1926年

公式图解

右侧是我们所处的宏观世界，左侧的氢原子模型是微观世界。

“薛定谔的猫”将两者相连，此猫正从宏观世界走向微观世界。

薛定谔创立了波函数理论，但此方程却成了哥本哈根学派的武器，直指爱因斯坦。

为论证量子力学的荒谬，薛定谔提出“薛定谔的猫”思想实验，成为20世纪物理学的最大争议。

这只不属于薛定谔的猫，行走于生死之间，穿梭于平行世界，它的行踪轨迹神秘，不可捉摸。

13

狄拉克方程

Dirac equation

发现者 狄拉克

发现时间 1928年

公式图解

左侧是一座巴别塔，处在光明之中，即我们所在的物质世界。

右侧一片黑暗，犹如一片黑海涟漪，意指深不可测的反物质世界。

黑暗世界反物质的出现，使得物质世界的巴别塔摇摇欲坠。

而中间连接的是一条将两个世界分离开来的通天之路，这条路也许就能进入到反物质世界中，甚至找到进入暗物质世界的入口。

狄拉克方程统一了狭义相对论和量子力学，并得出一个重大结论：电子可以有负能值，开辟出“新大陆”——游荡在宇宙中的“反物质”。

反物质与物质似双胞胎，却又水火不容，两者一旦相遇即湮灭。它们如同这幅画的左右两边，一边光明，一边黑暗，但谁也不知道，黑暗一边的反物质世界背后，究竟隐藏着什么。

14

杨-米尔斯规范场论

Yang-Mills theory

发现者 杨振宁、米尔斯

发现时间 1954年

公式图解

在杨-米尔斯方程的构图中，位处中间的“神”，正将“四力”合拢起来。

左侧“万有引力”，右侧“电荷力”，上方“强核力”，下方“弱核力”。

爱因斯坦曾经希望能借助一个公式将宇宙“大一统”，但直到生命最后一刻都没能实现。这个重担，落到了规范场论身上。

杨-米尔斯方程站上前人肩膀，后人推导修正，成为规范场论的中流砥柱。

随着希格斯粒子被发现，规范场论统一了自然界三种力，朝着大一统理论逼近。

一旦人类实现“四力统一”，可能真正成神——任意地组合与改变粒子，制造出前所未有的物质形态，左右空间维度数，最终成为宇宙的主宰。

15

香农公式

Shannon theory

发现者 香农

发现时间 1948年

公式图解

香农如同杂技成员，骑着独轮车，熟练抛接四个球，在“彭罗斯阶梯”上杂耍。

他从“烽火狼烟”城堡出发，逐步迈向“网络通信”。

香农公式，不仅带人类从工业时代进入信息时代，也让人类在远距离传输信息通信道路上越走越快。

香农写下香农公式后，给人们留下了一个极限，此后人们便在其中竞相追逐，1G、2G、3G、4G、5G…通信方式的变更，让人们的生活也瞬息万变。

这也是为什么在构图中将香农置放在“彭罗斯阶梯”上表演的原因——在香农公式中追逐极限，永远都不会有尽头可言。

16

B-S方程

Black-Scholes equation

发现者 布莱克、斯科尔斯

发现时间 20世纪70年代

公式图解

在B-S方程的构图中，中间是摇摇欲坠的金融大厦。

B-S方程原本是华尔街的中流砥柱，但大厦将倾，却无人能扶。

B-S方程曾经被称为是最“贵”的方程，价值高达一万亿。但“人性”作祟，这个公式并非完美，2008年的金融危机则成为压垮大厦的最后一根稻草。

由此，“牛头”倒在摇摇欲坠的金融大厦之下，牛市已然消失，人们唯一能做的，只有踏上那条曾经带来无数财富的B-S方程，然后义无反顾地往下跳去。

B-S方程本身没有问题，而是总有人滥用它。数学可以计算经济运行的轨迹，却没办法计算人性的疯狂。

17

弹道方程

Trajectory equation

发现者 英构司

发现时间 1881年

公式图解

中心部分如同黑洞般的枪口直指人心，左侧青年持枪射击，但可能正是因为将枪口抬高3CM，子弹从右侧的少女旁擦肩而过。

曾经守卫柏林墙的卫兵射击，导致跨越柏林墙的青年死亡。图中的青年将枪口抬高了3CM，便为右侧少女挽回一条生命。

这是弹道方程的魅力。

你必须执行命令开枪，但你应该拥有将枪口抬高3CM的良知。

18

胡克定律

Hooke's law

发现者 胡克

发现时间 1678年

公式图解

卓别林在《摩登时代》拧着巨大齿轮上的螺帽，每个人都是螺丝钉。

透过齿轮间隙可以看到熟悉的表盘数字，这是机械表的象征。

插图后方则是喷着浓烟的厂房和烟囱，象征着第一次工业革命滚滚袭来。

机械表的发展历程是工业革命的缩影，机械表的精密背后，离不开齿轮和摆轮游丝之间的精妙配合，而游丝里的时间秘密离不开胡克定律。

19

混沌理论

Chaos theory

发现者 洛伦茨

发现时间 1963年

公式图解

一只蝴蝶正跪坐在鲸鱼上，从太平洋西岸游向东岸。

这只美丽蝴蝶扇动翅膀，右侧亚马逊大叶植物形成了一道道飓风。

正如中国古人所言：失之毫厘，谬以千里。

混沌，才是世界的本质。蝴蝶效应只是一种典型的混沌系统。

我们的世界是混沌而无序的，就如同我们难以用准确的几何图形描述云朵、山峦、海岸线的形状，我们无法找到一种描述不规则世界的法则。

20

凯利公式

The Kelly Criterion

发现者 凯利

发现时间 1956年

公式图解

插画的正中央是熟悉的扑克牌，牌中人物被替换成凯利。

扑克牌后是赌盘和骰子，骰子的一面钻出来一个双手抓着钱，双目无神的人，另一面则画着一个骷髅头。意思很明显——赌博，依靠运气，将陷入深渊。

在扑克上置放着一条财富公式——凯利公式，这个公式价值万亿。赌博，不是运气游戏，而是数学问题。但赌徒永远学不到这一点，依旧会一头扎进赌场之中。

凯利公式告诉我们，只要进了赌场，你就是一个赌鬼。而赢得胜利的唯一法则，只有一个——不赌。

21

贝叶斯定理

Bayes' theorem

发现者 贝叶斯

发现时间 18世纪

公式图解

未来世界，是由电子芯片和线路搭建成的赛博朋克风格城市。

一个人工智能机器人正站在一面镜子前，一只手按在镜子上，对着镜中的自己产生了疑问：“我是谁？”

人工智能的发展离不开贝叶斯定理的支撑。尽管贝叶斯定理在最初时不被认可，但历经两百余年发展，几乎成为AI世界的铁律。

我们可能要问一下自己一个问题：

如果贝叶斯公式与A.I.真正结合，它是否会计算出自己是人还是机器，从而得出“我是谁”的答案？

22

三体问题

The Three-body Problem

发现者 希尔伯特

发现时间 1900年

公式图解

身披大红长袍的牛顿踩在宇宙之中，三个球体在他身边环绕运转。

在虚空中，有各种已知的、未知的力以及其他因素的干扰，想要计算出这三个球体的运动方程的难度可想而知。

牛顿曾经以数学方式严格地解决了二体问题，但面对“三体”，即便是成为真正的巫师和炼金师，也恐怕是心有余而力不足。

我们也许可以思考，摧毁三体的光粒文明，之所以能击中三体的一颗恒星，是因为他们解析出了三体运动吗？

23

哥德尔不完备定理

Godel's Incompleteness Theorem

发现者 哥德尔

发现时间 1931年

公式图解

一名理发师正准备给人理发，可这名理发师却声称，自己只为本城所有不给自己理发的人理发。那他是否要为自己理发呢？

插画之外，一名男子对着画作中正在理发的理发师举起了刀，但实际上我们无法分辨出持刀男子是在画中还是画外，即男子的存在性在这个系统中无法证明为真，也不能被证明为伪。

这便是哥德尔不完备定理：即使是世间不证自明的公理，也是不完备的。

哥德尔不完备定理开辟了一条新的道路：面对一个不完备系统时，请跳出所在的系统；面对某个公理体系内无法判定的一个命题时，请寻找新的数学工具或科学实验加以判定。

24

椭圆曲线方程

Elliptic curve equation

发现者 怀尔斯

发现时间 1995年

公式图解

一艘幽灵船航行于大海中。

船长中本聪屹立于船头，但不久后也会隐去。

幽灵船将以比特币、以太坊、Libra为首的虚拟货币体系为动力，自动在大海中航行。

船只身后的传统金融世界已然着火，只有新的数字货币体系才能存活。幽灵船的四周，漂浮着无数个“窥视之眼”，企图窥探加密数字货币的秘密。

椭圆曲线方程在比特币中扮演着关键角色，它是比特币的基石。没有椭圆曲线方程，就没有比特币的安全性。

比特币也正是因为依靠椭圆曲线方程，才在NSA的后门阴谋中得以逃过一劫。