想象你是位研究某类昆虫的生物学家，长久以来观察该种群历年数量模式的变化。假定在一个简单的模型里，某些昆虫一年只会繁殖一代，且第二年的数量将只取决于上一年的数量。也就是说，如果 xn 是第 n 年的数量， 那么 x_(n+1) 将是关于 xn 的函数。

现在考虑这样非常简单的模型，假定这个种群有一定繁殖率还有死亡率，但可以通过调整比例来得到下列的二次方程：

公式中 r>0 表示根据繁殖及死亡得到的综合系数， xn 可以在 0 与 1 之间。这样来说不过是定义了一个关于一元二次方程关于常数 r 的整个方程族，这个递推关系式作为单峰映射(Logistic map)而为人熟知。

我们可以将整个昆虫种族历年来数量制到一张折线图上，比如指定 x1=0.6 下，r 系数变化的情况。非常有意思的是在 r 不同值下整个递推过程会出现非常有趣的现象，可以从图形中更好地观察 r 从 0.1 到 4 的折线图动画。

详细来看下 r 值不同范围下，xn 的变化。

● 当 0

● 而当 r 在 1 与 3 之间，都会趋向 值，区别在于收敛的速度不同，如下图所示。

● 当 r 在 3 与 1+√6(约等于3.45) 范围内，xn 则会在两个值之间持续反复，如下图所示：

● r 在继续增大一点，在不超过 3.54 之内，则 xn 会 4 个值之间持续反复震荡。

● r 继续增加，但小于 3.5699 的范围内，图像则会出现 4个、8个、16个、32个…稳定值

● r≈3.56995 这样一个临界值，反复震荡消失，系统进入混沌状态。针对几乎所有的初值，都不会出现固定周期的震荡，初值再微小的变化，随着时间都会使结果产生明显的差异，这就是典型混沌的特性。

● 超过 3.56995 的 r 值表现出混沌行为，但在某些孤立的范围还会表现出非混沌的行为，数学家称之为“稳定岛”(islands of stability)，比如当 r 大于1+√8(约3.82)开始，会出现3个值的周期，再大一点出现6个值及12个值的周期。

● 当 r 从大约 3.56995 到大约 3.82843 时，这样混沌行为有时被称为Pomeau-Manneville 情景，就是说周期性的震荡和非周期性的行为会穿插出现。

● 当 r>4 时，针对几乎所有的 xn 初值，最后都会超过区间[0,1]并且发散。

另外一种更好观察整个过程的图形是蛛网图，因为像蜘蛛网而知名。这个图示过程可以帮你设想昆虫数量的情况。

▲ 单峰映射的蛛网图，在超过3.57的大部份r值可看出其混沌的特性(图自维基，作者Sam Derbyshire)

为了绘制一个蛛网图，第一件要做的事是选择 r 的值，然后在蛛网图上画一元二次方程。再在 x 轴上画初始数量 x1 ，同时画直线 y=x。根据定义 x2 的值算出 rx1(1-x1)，也就是图上 x1 的值。从 x1 画一条垂直线直至和图相交。再从 x2 画一条水平线直到直线 y=x。现在我们在 x 轴上得到了 x2 的位置，并可以重复这个过程。为了找到 x3，我们能够在图上画另一条垂直线，再画一条水平线到 y=x。整个绘图过程需要反复迭代进行，由于标有数字而不会看不清。那用一个类似蛛网图形你会清楚地明了进行的一切过程。

这些一元二次方程的逻辑斯蒂映射产生的混沌演化过程，是应用数学中近代令人振奋的部分。混沌系统被用来描述一个以明显随机方式表现的系统，即使这个系统自身不是随机的。最令人惊讶的就是在于此：

尽管系统简单，但其一系列演化后行为却会变得极端复杂。

例如，下面我们展示当你取两个非常接近的初始数值时会发生什么。特别的，我们以 x1=0.2 和 x1=0.2001，这两个相当接近的初值开始。经过若干次迭代之后，其结果就大相径庭。如果你想预测数量，而不慎重对待初始值的选取，这种行为无疑将是一场灾难。

事实上，混沌行为还说明了更多信息。如果在预估昆虫最初始数量上稍有差别，那很快最终预测将会是完全不同。或许正在读此文的你应该用软件将这个逻辑斯蒂映射动手做一些计算实验，以了解它是怎样产生的。那么将会发现的，也并不是所有 r 值都将产生混沌状态。因此，科学家和数学家试图了解特定系统何时产生了混沌现象，而不是试图预测昆虫种群，因为这种预测或许是不可能做到的。了解这一点可以让我们知道预测何时是准确的，而什么时候压根儿没戏。

一元二次方程这个早在古巴比伦就出现的未知多项式方程，我们已经在之前一系列文章中曾列出了它许多的应用及在人类科技史上所扮演许多重要角色。但其实还有更多地方都离不开它的身影。作为一个挑战，你还能将它的应用继续拓展下去吗？

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