几何和密切相关的拓扑领域中，添加空间维度通常会产生奇妙的效果：以前不同的对象变得无法区分。但是一项新的证明发现，有些物体的差异是如此明显，以至于它们无法用更多的空间来抹去。

该作品于 5 月底发布，解决了Charles Livingston在 1982 年提出的关于被称为 Seifert 表面的二维物体的问题。利文斯顿知道，许多对特定类型的 Seifert 曲面在位于 3D 空间的狭窄范围内时是不同的，但在有更多空间移动它们的 4D 空间中变得等价。

斯坦福大学和克莱数学研究所的玛吉·米勒（ Maggie Miller ）与凯尔·海登（Kyle Hayden ）的新证明合著者说：“拓扑学中的一个普遍现象是，当你有一些有趣的东西并添加了额外的维度时，它可能不再有趣了。”哥伦比亚大学、首尔国立大学的Seungwon Kim 、韩国科学技术高等研究院的JungHwan Park和布林莫尔学院的Isaac Sundberg。

利文斯顿现在是印第安纳大学的名誉教授，他想知道移动到四个维度的均匀化效果是否适用于所有这样的 Seifert 曲面对，或者是否有一些能够保持它们的独特性。

新工作确定了第一对 Seifert 表面，它们在四个维度上与在三个维度上一样明显不同。它还更进一步，识别出在某些方面变得相似但在其他方面不相似的其他 Seifert 曲面对，从而阐明了四维空间的微妙复杂性。

要了解 Seifert 曲面，您首先需要了解结，您可以将其视为弦的闭合环。最简单的结只是一个圆圈。更复杂的结包括三叶形结和八字形结，其中绳子在其末端连接在一起之前在其自身上下多次交叉。

结是一维对象，但它们构成了二维曲面的边界。再想想一个循环的字符串。该环形成了位于其内部的二维圆盘的边界。类似地，更复杂的结会绑定更复杂的表面。Seifert 曲面是边界为结的任何曲面。

此外，一个结可以绑定多个 Seifert 曲面。一种查看方式的方法是描绘在表面上追踪的结。它将曲面划分为两个互补的 Seifert 曲面。

Livingston 的问题是关于 Seifert 曲面之间的等价性。具体来说，他对可以逐渐变形以看起来彼此完全一样的表面感兴趣，例如可以拉伸成椭圆形圆盘的圆形圆盘。以这种方式可以使彼此完全相似的任何两个表面称为同位素等效。

利文斯顿想知道是否存在任何来自同一个结（并且属于同一属——意味着它们具有相同数量的孔）的 Seifert 曲面对，它们在 3 维或 4 维空间中都不是同位素。在随后的几十年里，数学家们找不到任何在传输到更高维度后幸存下来的三维差异。

“我提出了这个问题，它在那里坐了 40 年，”利文斯顿说。

米勒去年开始对这个问题感兴趣。今年四月，米勒、海登和桑德伯格在罗德岛普罗维登斯参加了一次会议，他们发现自己在一个深夜交谈。米勒提到了她、金和朴为了证明利文斯顿猜想而想到的一对表面。这些表面于 1975 年首次被发现，虽然没有人证明它们在四个维度上是同位素的，但也没有人反驳它。这些表面由一个有 19 个交叉点的结构成，看起来像彼此的偏移图像。

为了确定像一对曲面这样的拓扑对象是否等价，数学家使用了各种测试。这些称为不变量的测试有多种形式。有些运行起来更复杂，对物体的感知也更多；其他的更容易实现，但感知更少。

Hayden 和 Sundberg 最近使用称为 Khovanov 同调的不变量进行了一些令人兴奋的工作，该不变量使用代数来提取有关对象如何组合在一起的信息。这些计算可能很难执行，而且对于非常复杂的物体——比如有数百个交叉点的结——它们非常困难。但是对于 Miller、Kim 和 Park 想到的结和相关的 Seifert 曲面，它们非常容易处理。然后，确定两个曲面是否等价就变成了比较计算每个曲面的 Khovanov 同调不变量时得到的数字的问题。

“如果你知道数字不同，你就知道表面是不同的，”Khovanov 说，他在 1990 年代后期开发了他的同名技术。

Hayden 和 Sundberg 观察了 Miller 引起他们注意的这对 Seifert 曲面，并很快表明他们的 Khovanov 同调不变量不匹配，证明曲面是不同的。

“事实证明，这些例子确实隐藏了很长时间，”海登说。

在这一点上，数学家已经解决了利文斯顿的问题——确定了一对在三维空间中不是同位素并且在四维空间中保持不变的塞弗特曲面——但他们并没有就此止步。在海登和桑德伯格的消息的鼓舞下，该小组决定看看他们是否可以使用更基本的不变量来证明相同的结果。他们做到了，使用了拓扑学中一种称为分支覆盖的基本技术。

普林斯顿大学的Patrick Naylor说：“他们用大约一页数学来回答一个 40 年前的问题。” “这种情况并不经常发生。”

他们还继续确定了额外的 Seifert 表面对，在四维空间中，它们在某种意义上不是同位素（它们不是“平滑”同位素），但在另一种意义上是（它们是“拓扑”同位素）。这种拓扑等价和平滑等价之间的区别不适用于三维空间，并且是四维空间的深层奥秘之一——尽管现在对于 Seifert 曲面来说不那么重要了。