本文，将会以数学为主线和切入点，进行一次思想和思维上的——自由推理探索认知之旅，并将会透过一种奇妙有趣的视角和观点，窥见一个我们所熟悉又有所不同的世界、万物、万事万物，及我们的宇宙。

主题目录如下：

·     什么是数学

·     结构和数据

·     直觉主义与形式主义

·     矛盾性

·     矛盾与智能

·     结构、关系与信息

·     结构、信息与比特

·     结构、数据与信息

·     比特数的映射

·     实数基数与我们的认知

·     数学与物理

·     物理之于数学

·     对称性破缺

·     结构的定义与意义

·     结构、几何与代数

·     数学的本质

·     万物皆比特

·     再看几何：突破三维屏障

·     从程序看待数学

·     结构与熵的关联性

·     万物的本质

·     One More Thing：逻辑

·     结语

·     后记1：数学语言

现在，就让我们开始这次认知探索的旅程吧——深刻的见解，就隐藏在深渊之中，而这是环境信息（即宇宙整体）的自我（随机）表达。

什么是数学

数学是，结构（存在数量）和关系（存在变化）的描述，以及验证（结构和关系）的过程和方法。

至于逻辑，更像是结构和关系所固有特点，即：逻辑是顺着结构所看到的关系，而抽象就是寻找结构和关系的手段。所以，数学是通过抽象的手段，剥离去除一切无意义的具体，只留下单纯的结构和关系，并探索其中的逻辑因果。

这里需要定下一个锚点，就是逻辑是数学研究的结果——这对学习数学至关重要（因为逻辑是结构和关系所固有的），但它不是数学研究过程的关键——因为探索过程强依赖的是直觉（即用直觉发现或发明路径），而直觉有时候恰恰就是“反逻辑”的（即反局部逻辑，顺整体逻辑）。

那么，数学发展到今天，庞大而巨细、分支繁杂又艰深，但抽象来看就3个方面：

·     第一，数的结构和关系，即代数结构的定义，和对代数关系的描述。

·     第二，形的结构和关系，即几何结构的定义，和对几何关系的描述。

·     第三，对于结构和关系，即数与形和因与果，研究验证过程的描述。

需要指出的是，几何也可以看成是图或图形，其性质源于图形结构，其内在的空间关系；图本身是示意或描绘的意思；图形，就是示意或描绘形状的意思；因此，用一个字来对应几何，形比图更切合； 那么，数与形，也可以说成是，数字与图形。

同时，数学也像一个游戏，在自洽的游戏规则内，随意进行思维的玩耍，即：从公理出发，进行必要的定义，然后进行严谨的推导论证，得出结论（即定理），接着经过确认过的结论（不能与之前的结论相矛盾），又可以加入以后的推导过程中作为基础，如此反复，这就像一个游戏，但目的和终点不得而知，只是结论越来越多，格局越来越大。

显然，数学的每一步推理，每一个结论，都是后续的基石，其具有永真与保真性，而由此构建的系统与体系，就具有有了无与伦比的坚实性与正确性。

那么，这套游戏玩法，就被称为公理方法，其圈定的越来越庞大的游戏（领域）范围，则被称为公理体系——其中，自洽的游戏规则，需要遵从4大基本原则：

· 相容性——就是结论本身和之间不能出现矛盾。

· 完备性——就是任何结论都必须可以由公理推导得出。

· 独立性——就是公理不依赖于其它公理的逻辑推论。

· 可判定性——就是存在一个判定过程可以确定结论的可证明性（希尔伯特引入）。

事实上，这套公理游戏，最早可以追溯到欧几里得的时代，并且几何学就是这种游戏演绎的一个典型代表。

公理选择原则——尽量少、足够简单、并且直观上明显合理。事实上，抛开哲学因素和对最基本原理的探究，公理方法是剖析各种事实之间的相互联系，以及展示结构基本逻辑关系的最自然方法。

那么，在很久很久以前——公理体系还没有诞生的时候，数学最初是起源于生活的具体的，那时候还不叫数学，只是一种简单的测量与计数工具。

例如，“几何”的英文——Geometry，其源于希腊语，由“土地”的词根——geo和“测量”——metry一词合并而成，顾名思义，几何最初代表的就是对土地的测量。

例如，自然数最初，就是源于对具体事物的计数，但从有理数开始就脱离了现实，变成了人为的创造与抽象。

而发展至今，数学已经完全变成了纯思维的活动，完全脱离了现实，可以说这体现了人类抽象思维和逻辑推理能力的进化——也就是智能的进化。

并且现代数学，也从公理体系过渡到了新的玩法，就是计算与构造，即：计算验证结构的关系，关系启发结构的构造，构造产生新的计算，如此迭代，不断（随机）产生新的结构和关系。

康托尔对实数不可数的证明，就是一个令人拍案叫绝的——“刻意构造”，即：构造对角线证明法。

那么，数学试图去发现所有的结构和关系，这是一种描述行为。所以，数学可以说是一种描述物质的物质，就像是一种——元数据和元语言，其描述的就是物质结构和关系所固有的逻辑。

这里，有一个形象又有趣的类比：

“事实上，基因并不会衰老，基因只是一串排列组合的信息（结构与关系），相反存在越久远的基因，就越会存在更长的时间。衰老的是上层结构，基因是信息，描述了上层结构。基因指导了结构的复制，结构复制结构就会把基因传递下去，这是基因的生存之道。而结构的复制错误就是衰老的原因，并且会反作用于基因。”

那么，基因就像是数学，描述了结构的关系（即规律），而基因本身则是更基本结构的排列组合——是数据存储了信息。

结构和数据

结构和数据之间，存在一种可以相互转化的关系，数据是传递信息的结构，而结构可以吸收数据所传递的信息（即吸收结构），形成新的结构，从而不断地变化（即传递出新的信息）。

而思维——正是数据在（脑神经元网络）结构中流动、吸收、重组、以及随机自由组合过程的产物。

那么，人们以为自己的想法，是源于自身大脑独立的产生。但其实，任何想法思维都需要数据的参与和构成，而数据是来自外部环境的。

可见，所有的想法都只是环境信息的表达，而数学作为思维的产物，所做的所有探索和发现，以及严谨的推理论证，都只是环境信息中结构和关系的呈现。

首先，大脑能想到的，都一定对应物质实现的信息排列组合。因为大脑思维的数据来自环境，大脑只是把通过感官（视觉、听觉、触觉、味觉等）接受的数据，自由组合起来。

比如做梦，其实就是把白天接受的信息（包括潜意识捕捉的信息），与过去记忆中的信息，进行的随机自由组合。

所以，梦里无法出现完全没接触的事物，因为还没有相关的信息，但可以自由组合已有的信息，创造出现实里不存在的事物，也会因为信息的随机组合性，而创造出怪诞的事物和荒诞的行为。

就像，梦里无法出现没见过的人脸，而出现的陌生脸，一般都是在白天主观意识没察觉到的时候，眼睛所捕捉到的人脸信息，亦或是随机组合了记忆中不同人的五官，所形成的人脸信息。

达芬奇在笔记中曾写到：若要让想象中的动物看起来自然真实，譬如龙，你可以参照獒犬或者猎犬的头、猫的眼睛、豪猪的耳朵、灰狗的鼻子、狮子的眉毛、公鸡的太阳穴和乌龟的脖子”。

其次，大脑运行的原理和规则，是宇宙规律的一部分和缩影（分形构建）。所以，大脑想象力的产物，终究会在不同的时间点以不同的形式，在现实（物质）世界中实现。

比如，人类想象着飞翔，最终就发明了飞机。又如，点石成金，虽然炼金术师无法完成——因为炼金术师只掌握了化学手段，而化学变化并不能改变原子种类（化学变化，元素不变，只是吸热放热的能量变化）——但未来通过掌握核聚变技术（核合成），就可以改变原子种类，即：改变原子序数（质子数或电子数）和原子质量数（质子和中子总数），从而完成点石成金的转变。事实上，恒星——比如太阳，其内部就无时无刻不在进行着核聚变反应——创造出各种不同的元素。

而由科技发展史可见，工业技术堪比魔法，甚至可以说，工业技术就是魔法——就如科幻作家，亚瑟·查理斯·克拉克所说：“任何足够先进的科技，都和魔法无异。”——其中工业技术依靠科学，魔法依靠想象力，但最后，工业技术和魔法都依靠，在大脑里进行的数据组合与信息处理。

那么，有一种观点，认为数学只是由一堆公理和定义推理演绎出来的结论，并且公理（这是游戏系统的根基）选择具有任意性，只要没有矛盾，就可以任凭数学家的自由意志随意创造。

这就相当于把数学，架空到一个虚拟的游戏世界，沉浸式的体验，只要合理逻辑自洽，就可以让人无法分辨虚拟与现实的区别。于是，数学家的自由意志——随机又虚幻，这似乎是对追求、目的和意义的全盘否定。

但无论是谁的自由意志，其产生原因的背后都需要数据，因为无论是结构化知识的积累，还是灵感直觉的探索，亦或是进行逻辑推理与归纳，都无法脱离数据独立完成。

而数据——最终都是来自于环境信息的，那么数学家，就像一个过滤器，不断地从环境信息中观察和总结，并通过逻辑性的推理演绎，提取出数据中内在结构和关系，最后使用数学语言，对这个过程和结果进行描述和表达。

直觉主义与形式主义

对于数学本质基础的认知讨论，有两大派系：一个是直觉主义，一个是形式主义。

其中，直觉主义认为人的直觉是应对着现实对象的（或说是来自于现实），所以数学的命题是在描述客观的实体，那么就必定没有相容性，即矛盾的问题。

因为现实不会存在矛盾之物，并且只认可构造性的性质，即给出结构性证明，那么反证法则不属于这个范畴，因为反证法其过程没有结构，只有矛盾。

而形式主义，不在乎数学与现实的关系（认可人类思维的虚构创造与现实不对应），只专注于公理之上的逻辑演绎，即形式逻辑程序。其严格要求，不能引入矛盾，无论使用什么方法都行——重要的是自洽没有矛盾，所以与直觉主义不同，反证法也会被认可。

但实际上，这种要求在概念严格封闭的系统中，证明相容性与完备性是不可能的，比如集合论悖论——这像极了，封闭系统无法维持有序，必须注入引入外部能量，才能维持局部有序的形式。

例如，集合悖论：有一个集合，它由那些不包含自身的集合构成，那么它是否包含自身？

·     如果包含，那么命题要求，它不包含自身。

·     如果不包含，它就是不包含自身的集合，那么命题要求，它包含自身。

例如，理发师悖论：如果一个理发师，只给所有不给自己刮胡子的人，刮胡子，那么谁来给他刮胡子？

·     如果理发师给自己刮胡子，但命题要求，他不能给“自己刮胡子”的人刮胡子。

·     如果理发师让别人给自己刮胡子，那么他就是不给自己刮胡子的人，命题要求他给自己刮胡子。

例如，说谎者悖论：我说的这句话是谎话。

·     如果命题为真，那么命题的语义，要求命题是谎话。

·     如果命题为假，那么命题的语义，要求命题是真话。

罗素认为，这种悖论的原因，是命题包含自身所导致（即自指），如果去掉自我指涉，悖论就会消失。因此，自指就是造就矛盾的一个根本因素。

那么，有趣的是，直觉主义和形式主义的这些思考和讨论，都是在构造性的、直觉模式的指引下产生的，这意味着他们在相互渗透彼此，并且他们共同点，就是极力的在排除矛盾。

矛盾性

那么，我们就要问了，为什么无论是在虚幻的思维，还是坚硬的现实之中，都不应该出现矛盾呢？

显然是因为，矛盾的状态，不能同时出现在同一事物上，但矛盾的状态，在一定条件下是可以相互转化的，这也是事物的对立统一性。

于是，同一事物在不同时间，或是不同事物在同一时间，就可以展现出矛盾性。那么，时间跨度越短、事物越少，就是越局部——矛盾就越少，反之时间跨度越长、事物越多，就是越整体——矛盾就越多。

可见，矛盾性在整体，代表状态的转化，在局部，就会随着状态减少而减少，直到在某个局部，无法再存在矛盾的现实。

最后，矛盾性时常存在于现实生活中，有以下几点原因：

·     第一，不同角度看事物，有不同的答案。

·     第二，矛盾可以转化，但在某个条件下，只能看到一个转化状态的快照。

·     第三，认知偏差，人只会相信自己愿意相信的，无视全局与未知的未知。

·     第四，时间变量，同样的行为，在不同的时间点，和积累时间下，会有不同的结果。

·     第五，信息扭曲。

矛盾与智能

有趣的是，人脑所构建的——智能，是可以存在矛盾的，也就是说矛盾的概念或想法，是可以在人脑智能中所共存的，甚至智能还能理解这种矛盾性。

例如，在利益相关时，双标的普遍性，就会让人在同一件事情上，对人对己产生截然相反的矛盾态度和观念。

如前所述，矛盾性之所以会出现在，我们的观念之中，就是因为——微观局部来看是没有矛盾的（被隐藏），宏观整体来看矛盾就出现了——而我们基因所构建的本能与智能，往往（也只能）根据不完整的局部数据，来进行推理判断。

于是，人脑智能处理矛盾的方式，有两种：

·     第一，通过掌握自然规律，上升到整体视角，去化解矛盾（否则根本看不到矛盾）。

·     第二，通过分层，下降到局部视角，显然在每个局部层，更容易保持不矛盾（虽然在整体上可能是矛盾的）。

那么第二点，对应到我们的观念行为之中，就是我们把矛盾的事物割裂开来，放置到不同的情景、时间、上下文中单独理解体会（过程充满了自我说服），然后得出一个在局部完全没有矛盾的结论，最后执行这些狭窄视角下的“合理行为”——但事实上，在整体跨越时间和场景的视角下，这些“合理行为”，其实充满了矛盾性（这并不会立竿见影的影响生存）。

例如，一个人可以，喜欢吃苹果超过橙子，喜欢成吃橙子超过橘子，但喜欢吃橘子超过苹果。

例如， 一个人可以，既相信死后可以上天堂“享福”，又可以特别害怕死亡去“享福”。

另外可见，局部——是可以解决矛盾的，甚至还可以解决很多的问题。而有一个概念，对硬件和软件、系统设计和性能，都有着极大的影响——那就是局部性，程序应该倾向于创造和使用临近的数据——显然这不仅有速度性，当然还有（局部的）正确性。

结构、关系与信息

关系是与结构绑定的不可分割的，是对结构从某个视角观察的结果，并且这个角度看到的是可以被观察者所理解和可感知的。这里的可感知，即是可以被人体的感觉系统（如视觉、听觉、触觉等）所处理的。

那么就肯定会存在，有些（甚至是大部分）结构的排列组合，所呈现出来的关系，是无法被理解和可感知的。而从不同的角度去观察相同的结构，也会得到不同的关系。

那我们如何去表达、描述、甚至是传递这个关系呢？这就是信息。所以，信息描述了关系，就是描述了结构，在观察者看来结构是什么，自然就是信息的排列组合，这其实就是在描述结构——通过关系来描述结构。

而信息的载体也是一种结构，那么也就可以被其它信息所描述，所以信息是一种描述性结构。就像一段文字数据，传递了信息，这个信息描述的可能是另外一个结构（事物），而对这段文字的翻译或是解释，就是描述信息的信息，同样也是一个结构。

可见，数据本身的结构，所呈现的关系也是信息，并且从不同的角度去解析数据，就会看到不同的关系，从而得到不同的信息。而数据这个结构的主要功能就是传递信息，其载体和形式并不重要，重要的是其组成结构的排列组合，所形成的关系，即信息。

所以，传递信息就是在传递结构，而结构可以吸收信息（来自数据的信息），其实就是在吸收结构（来自数据的结构），从而可以形成新的结构，传递出新的信息。

因此，有时候换个角度看问题——就会恍然大悟，就会豁然开朗，就会迎刃而解，也会得到全新的答案——这就是因为不同的角度，让我们获得了有关结构关系的更多信息。

结构、信息与比特

那么关于结构和信息，其实还有着更为深层次的联系。不可再分最基本的物质是什么？重点是不可再分，不考虑物理的限制，不要在乎物质的属性，无限小的是什么？——那就是比特，信息量的基本单位，代表着最小信息结构。

因为物质是由更小的物质所（递归）构成，最小的物质，拥有最小的结构，最小的物质结构对应的——就是最小的信息结构，即0和1。

事实上，物质的属性，是由构成物质结构的数量和排列组合所决定的，但这个属性需要通过结构所传递的信息来感知。

而物质，由宏观到微观的变化过程：就是构成物质结构不断减少，信息不断丢失的过程。物质不断地分割到粒子层面，再不断地分割，就会不断丢失结构和信息，就会不断丢失特性。到一定程度就难以测量——变成概率。那么，如果再继续分割（不考虑实际技术工具的限制），最后只有一个基本结构，对应了一个比特信息，此时只有一个属性——要么是0，要么是1，成为了概率。

另外，我们可以把信息理解为，人类可以理解的关系。

那么显然，有结构就会有关系，而基本信息比特，就是描述了基本结构的关系——就是随机的0或1。所以，比特描述的关系，就是基本结构自身的变化（自身与自身的关系），是一种无法被理解的关系，相当于没有信息，也没有可观测的结构。

而如果基本结构没有变化，比特描述的关系就是全0、或全1，这就是所有一切的开始与结束——代表着宇宙的起点（比特全0）与终点（比特全1）。

结构、数据与信息

从前面的论述可知，结构与数据可以相互转化，关系是从结构或是数据中，提取的信息。信息表达、描述、传递了结构和数据中的关系，代表着人类可以理解的关系。

显然，结构和数据中，存在着冗余信息和无效信息——也就是信息噪声，并且这些信息噪声并不能计入信息量。

不过，信息噪声是一个相对的概念，因为不同的人拥有不同的信息积累，那么同样的信息噪声对不同的人，就可能会有着相对的信息量。就像相同的数据，在有些人看来全是噪声——没有任何未知的信息，但对另一些人来说——却可能全是未知的信息。

而有时，数据拥有未知信息——也就是有信息量，但这些信息“没有用处”——就是包含有一定比例的错误，或是知道与不知道并没有什么影响，那么我们也可以认为，这些有信息量的未知信息——也是信息噪声。

由此可见，对于结构或是数据，其中有没有信息、以及有多少信息，这依赖于已有的结构——也就是信息积累，能不能够识别和处理，这些传递的结构和数据。

那么显然，我们大脑的神经网络结构，就是已有的信息积累——代表着一个人所拥有的知识；而人类所创造的一切，就是人类文明的信息积累——代表着人类物种所拥有的知识。

因此，这些信息积累，就决定了我们对未知结构和数据的识别与处理，即代表着我们对未知的探索和对自身的改进。

但有时，就算有了大量数据，也不一定就能够得到，有效的结论或真相，因为这些大数据，从不同的角度来看，就会得到完全不一样的结论或真相。

这时候，不是我们的数据不对、逻辑不对，或分析不对，而是角度不对，即：在错误的数据角度上，应用了正确的逻辑分析，结果依然无效。

数学与物理

物理研究的是物质的结构和属性，及其相互作用，其中相互作用是通过某种关系来呈现的，也就是自然规律，可以用数学函数来描述。

所有方程都是函数，如果在不违反康托尔连续统（即实数）结构的条件下，函数基本可以和方程看成等价。

而数学抽象的是结构和关系，这个关系在于结构之间和结构内部的固有逻辑，也可以用数学函数来描述表达，并且其中有部分关系映射了物理规律，还有部分并不对应具体的现实。

需要指出的是，这里的物质属性，表达的是一个更加抽象的视角，可以理解为物质特征的总和。比如物质的运动，就可以算是一种运动属性，是物质受到力的作用后，所表现出来的一种特征，表征了物质的一种状态。

那么对于函数，其实是一种计算——是一个量到另一个量的计算，数学更关注计算——这是关系（体现逻辑），物理则更关注量本身——这是结构（体现属性）。

而量与计算的过程，即是结构所呈现的关系，通过其固有的逻辑，被发现总结的过程，也就是数学和物理的研究过程。

综上可见，物理和数学的研究对象其实都是结构，其中物理的结构是客观存在，而数学的结构则是抽象逻辑映射。

但所有结构，都是由更基本的结构排列组合所形成的，我们姑且把更基本的结构，称之为基本结构（这里结构形成了分形递归构造）。

那么，是基本结构的排列组合形成了可观测的属性，形成了结构内部与外部的抽象关系，这就是物理和数学在共同的结构之上，所进行的不同方向的演绎和研究。

所以显然，无论是物理还是数学，都会对结构进行观察和分析，接着我们必然就会看到基本结构之间的关系，而关系是通过信息来描述的。那么现在，我们就可以把上面的基本结构替换为——信息，所以就是信息构成了一切。

再结合前面的结论，信息的基本结构是比特，是随机的0或1，是概率，这也就解释了为什么在微观的量子世界中，无处不在的是概率与随机。

那么，关于微观与宏观的演变与构造：

如果从物理角度来看，其实连接微观与宏观的是——普朗克常量。因为有两个公式，E = hv 和 P = h / λ，其中——E是能量、P是动量、h是普朗克常量、v是频率、λ是波长。而E、P是宏观物理量，v、λ是宏观可测量，h则是微观量子化特质。

由公式可见，粒子都具有波粒二象性，其中波长和频率代表着粒子宏观波的性质，普朗克常量则代表着微观量子化的粒子性。

并且普朗克常量，同时也关联着粒子的不确定性——∆x * ∆P ≥ h / 4π，即是：位置变化量（粒子位置的不确定性）* 动量变化量（粒子速度的不确定性 * 粒子质量） ≥ 普朗克常量 / 四倍圆周率常数。

而粒子在微观的不确定性，在宏观上表现出的就是统计概率。可见普朗克常量其实就是，连接了微观与宏观的不确定性与概率。（具体参看主题相关文章[1]）

那么，再从数学角度来看，普朗克常量必定代表着某种可观测极限下的结构信息。常量之所以是常量，均代表着观测中，物质结构在某个角度下，所呈现的特定信息。所以普朗克常量代表的信息，必定会受限于人类的观测手段和能力。

但数学可以抛开实验和测量，抵达到抽象的极限。

试想，是无法测量的基本结构，构建了上层可测量的基本粒子，而基本结构对应的信息描述就是比特（0或1），于是基本结构组合出的基本粒子，其信息是可以由比特信息所描述的。

那么，可观测的物理数值，最自然直接的信息描述方式，就是使用二进制的比特。而为什么有些物理常量，是无法精确表示的无理数——比如√2（根号2），或是超越数——比如π（圆周率）和e（自然常数）？

超越数——是指不是代数的数，即不是任何代数方程的解，且无限不循环的数；它是无理数的子集，即所有超越数都是无理数，但有些无理数不是超越数。

或许就是因为二进制信息描述，转化为十进制信息描述的过程中，会有精度丢失的问题。就像π的二进制形式是一个正规数，√2也是一个正规数，e可能是一个正规数。

正规数（Normal Number）——是数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。其中数字，指的是小数点前有限个数字（整数部份），以及小数点后无穷数字序列（分数部份）。

所以，这表明了π的二进制表达，其实描述的就是——微观比特所呈现的随机概率，而这就是某种精确，只不过是以人类还无法理解的不确定性信息，来呈现的。

事实上，在微观物理上，基本粒子——比如电子和夸克，都无法描述其内部的结构，最终都被视为了质点或是点粒子——没有体积，但它们都拥有数学上的构造，即：抽象结构。

而物理从人们触手可及的现实世界出发——观察总结、实验计算，直到隐藏在世界背后的规律——被符号化、抽象化到一定程度的时候，就仅仅只剩下了，数学逻辑模型上的推理和探索。

由此可见，在微观，在抽象之地，数学与物理必然是统一的，因为物质背后的本质（基本）结构，必然是统一的。只不过，物理只提供现实，而数学的抽象结构，则必须源于其自身——形成闭环。

物理学家——保罗·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac），曾说：“具有数学之美的理论，更有可能是正确的，而不是与一些实验数据相符合的丑陋理论。”

比特数的映射

比特数，即是二进制数，也就是由0和1构成的数。

事实上，[0, 1]之间的实数，可以与大于1的实数，存在一一对应的关系——只要把每个数用1除，就可以将其映射到[0, 1]之间。

例如，2对应了1/2，4对应1/4，10对应1/10，1000对应1/1000……等等。

这意味着，[0, 1]之间的某些实数性质，可以用于所有实数——图灵与康托尔在论文中，都运用了这个概念。

同时，在[0, 1]之间的实数，是可以与0和1组成的比特数一一对应的。

因为，[0, 1]之间的实数，可以看成是小数点后——任意自然数序列的组合（如0.12345……），而每个自然数是否出现在“自然数序列”之中（如12345），是可以用0或1来表示的，即：0不出现，1出现。这样，每一个[0, 1]之间的实数，就对应了一个比特数。

例如，{1, 2}对应的[0, 1]实数是——{0.0, 0.1, 0.2, 0.12}（我们把0.21归入{2, 1}之中），那么{1, 2}对应的比特数就是：{00, 10, 01, 11}，即：在[0, 1]实数的自然数序列中，1存在是1否则是0， 同理2存在是1否则是0。

又因为前面说的，[0, 1]之间的实数，是与大于1的实数一一对应的，所以，比特数就是与实数存在一一对应的。

事实上，这里比特数其实是在，穷举自然数序列的个数，而其本质就是，自然数所有子集的个数，这也称之为——自然数的幂集。

而从另一个层面来说，在量子计算中，量子比特（0或1）是处在叠加状态的，其结果是0还是1的概率，可以是任意数值。因此，量子比特和[0, 1]实数就是一一对应的，也就是和实数是一一对应的。

最后，我们可以看到，比特数的个数（即基数或势），其实是2的N次方个，其中N是“自然数的个数”，如2个自然数就会对应4个比特数，3个对应8个（2的3次方），4个对应16个（2的4次方），以此类推。

而自然数的个数（也称自然数的基数或势），被称为——阿列夫零，用ℵ₀表示，这也是任何可数无限集合的个数。

所以，实数（也称连续统）的个数（基数或势），也就是2的ℵ₀次方个。

实数基数与我们的认知

在数学上，自然数的个数（也称自然数的基数或势），被称为——阿列夫零，用ℵ₀表示，这也是任何可数无限集合的个数。而康托尔证明了，实数的基数就是——2的ℵ₀次方。

也就是说，无限个自然数有ℵ₀个，而无限个实数却有2的ℵ₀次方个。

这是什么概念，ℵ₀是远远远远远远（<<<<<<）小于2的ℵ₀次方的，如ℵ₀取10，2的10次方就是1024，那如果ℵ₀是100、1000、或∞呢？——这是不可想象的差距。

事实上，实数（即连续统）与可数无限集，之间的区别就在于，是否包含超越数。我们不得不承认，超越数，其实占了实数的绝大部分——甚至几乎填满了所有实数集。

编程大师——查尔斯·佩佐德（Charles Petzold），在《图灵的秘密》中，说道：

“千百年来，我们对数的概念，完全是偏颇和扭曲的。我们总是重视整洁、秩序、以及模式，然而我们又生活在一个折中与近似的世界中。我们只关注那些对我们有意义的数字，例如：为了数农场里的动物，我们发明了自然数；为了测量发明了有理数；在高等数学中又发明了代数数；接着又在实数中挖掘出了很多数。但却完全无视了，实数海洋中，其它犹如微生物一般繁多的数。”

“我们生活在一种很安逸的幻觉中：有理数比无理数多得多，代数数比超越数多得多，这些都是我们的一厢情愿，事实上，在实数的世界中，几乎每一个数都是超越数。”

“这些超越数到底是什么？它们中大多数仅仅就是，随机的数字序列，完全没有模式、规则和意义可言。实际上，任何一个随机的数字序列，几乎都是超越数。”

那么，从这些数中，我们至少可以发现两点：

·     第一，数的个数是2的幂次方。

·     第二，数的个数增长是指数增长。

至于，超越数的随机性，这是关联到物理微观现实的，另一个有趣的问题。

物理之于数学

在数学的变分法问题上，有时得到一个存在性的证明是异常困难的，这就会促使人们用物理装置，去模拟这个问题的数学条件，甚至干脆把这个数学问题看成是一个物理现象的解释。那么，这个物理现象的存在性，就代表了这个数学问题的解。

变分法——寻求的是，使得泛函取得极大或极小值的极值函数。它起源于一些具体的物理学问题，最终由数学研究解决。

它在理论物理中非常重要，例如在拉格朗日力学、量子力学、以及最小作用量原理中，都有应用。另外，在材料学研究材料平衡中，也大量使用。

虽然这是一种大致的考察，会存在实验误差影响结论的情况，但实验结论依然会对人们的心理和视角，产生重大影响。有时这种物理实验，会在想象中进行，就足以给数学家颅内模拟的信心和力量。

在19世纪，函数论中的基本定理，就是由于黎曼进行了想象中的，薄金属片内电流的简单实验，而发现的。

但需要注意的是，观测与测量可能会有误差，但数学证明则没有任何错误的“缝隙”——其特点是，要么永远正确，要么从未正确，不存在正确与错误混合出的概率。

因此，在物理上通过实验得出的结论——是经验定律，其有错误的可能性（但不妨碍现实的可用性），而数学证明的结论——是定理，其拥有永真与保真性，即没有任何错误的可能性。

而在当代，著名数学家——迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah），曾经这样评价一位物理学家：

“虽然他肯定是物理学家，不过他对数学的掌握，很少数学家能比得上。他一次又一次，以巧妙的物理直觉和洞察力，导出新颖深刻的数学定理，使数学界为之惊异。他对现代数学影响巨大，他让物理学，再次成为数学的丰富灵感和直觉源头。”

他就是——爱德华·威滕（Edward Witten），弦理论和量子场论的顶尖物理学专家，但却获得了数学界的最高奖项——菲尔兹奖，所以他也必定是一位数学家。

事实上，他很难获得物理学诺贝尔奖，是因为他研究的物理理论（M理论，即弦理论的上层理论），太过超前而难以被实验证实，但理论研究过程中，所衍生出的数学工具，却对数学界有着极大的贡献。

对称性破缺

事实上，数学代表的是——对称性，物理世界却是——对称性破缺的产物。也就是说，数学描述的是——规律的对称性，物理世界却是——现实的对称性破缺，即：自发对称性破缺。

自发对称性破缺（Spontaneous Symmetry Breaking）——是指某些物理系统，遵守自然规律的某种对称性，但是其系统本身却不具有这种对称性。

有一个简单的例子：

一个抛硬币系统，正反面是等概率的——这是自然规律的对称性，而一旦抛出硬币落地，正反面就确定了——此时系统本身的概率就不对称了。那么，抛硬币系统，就是遵守自然规律的对称性，但系统本身运作却不具有这种对称性。

可见，自发对称性破缺——是确定性，从概率的对称性中，随机显现出来，形成不对称性的过程——这就像是一个特定的现实，从数量巨大的一系列的可能性中，随机选择拼凑而来，如同上帝掷骰子的过程一样。

然而，无限次抛硬币的统计结果，正反面又会是对称的了。

可见我们的世界，是对称中有不对称，不对称中有对称，这完全取决于整体与局部的相对视角，即：从不对称的局部上升到整体就会对称，再继续上升到局部就又会不对称，如此随着视角的上升——整体与局部的不断变化——而如此往复。

显然，宏观系统并不会，真正违背微观系统的对称性，而是表现出（对称性）破缺，因为在整体破缺的状态下，系统各部分保持的关系，对能量的要求更低，从而就会更加稳定，以在宏观普遍的存在。

那么，矛盾性——或许就是在对称与不对称之间循环的产物。

结构的定义与意义

前面说了这么多，结构到底是什么呢？

结构，是万物最基础的结构，是信息最基础的结构，递归的来看——结构就是结构的结构。显然，这个描述形成了循环，但这种递归的定义如果存在“出口”，就可以打破这种循环。

因此，结构的定义可以是——结构是结构的结构，直到结构是0和1为止。

在物理中，基本粒子（或弦），是不可分割的最小结构，但描述它们的信息结构，仍然可以继续“分割”——直到这个可测量信息，变得不可测量，即无法感知。这里的感知，不仅有人类的感觉信息（即化学信息），还有工具的测量信息。

因此，只要有信息，就有可感知的存在，就有结构。那么，最小的结构，代表着抽象的极限——就必然是0和1了。

事实上，物理结构与信息结构，一个是客观存在，一个是对客观存在的描述，但两者存在映射关系，并且最小的信息结构，就是0和1，即比特结构。

那么，虽然物理存在（即物理结构），微观到一定程度，就会变得无法测量，但对应（描述映射）的信息结构——却可以凭借抽象抵达0和1。

而从另一个角度来说，如果在“最微观”处一切都是——概率，那么概率，也依旧是依赖信息结构来体现的，这又必然回路到了信息的最小结构——比特（0和1）。

因此，为什么物理存在，最后就变成抽象的0和1了？

或许，本来我们对物理存在的“感知”一直都是“信息”，直到我们定义了“信息”，从而有了一个全新的视角去解释原有的一切。

那么，结构的意义就在于——结构在最微观处“不存在”，却构建了宏观的一切。

最后，再从物理学角度来看，向一个封闭系统，输入信息（信息可以减少无序，消除不确定性，产生需要消耗能量），会降低系统的信息熵（因为输入信息，让结构有序，结构的信息量下降），同时也会降低其热力学熵（参考麦克斯韦妖思想实验）。

兰道尔原则（Landauer's Principle）——是指改变信息熵会改变热力学熵，定量来说，是改变1比特的信息熵会改变k * In2的热力学熵（k是玻尔兹曼常数），或说改变1比特的信息最少需要kT * In2的能量（T是温度）。

换言之，降低系统的信息熵（写入信息），就会降低系统的热力学熵，这个过程需要从环境获取能量，并令环境熵增，那么提高系统的信息熵（删除信息），就会提高系统的热力学熵，这个过程同样会令环境熵增。

当然，如果环境不提供能量，改变信息（写入或删除）的能量，可以全部由系统自身提供，那么系统的总熵会不断增加，直到无法提供能量继续改变信息——因为写入信息，系统的熵增和熵减可以抵消，但删除信息只会熵增，而只写入不删除，抵达某个临界值，就没有能量再继续写入，除非从环境获取能量。

于是，信息熵就是可以与热力学熵相互映射的，而热力学熵度量了不可利用的能量，且能量与质量（即物理现实）是可以相互转化的（质能方程），那么信息熵就与物理现实，是存在映射关系的，也就会说信息与质量，是存在某种映射关系的， 即：质量越少，描述质量的信息越少（但描述能量的信息越多，同时宇宙系统的信息越多）。

而从公式关联角度来看，波函数演化代表了微观粒子的演化，波函数由薛定谔方程解出，薛定谔方程的构造思路来自：

·     第一步，玻尔兹曼熵公式（S = klogW）——热力学熵，使用e指数形式，即W = e^(S / k)，玻尔兹曼常数k，换成普朗克常数h（其实是h / 2π）。

·     第二步，欧拉恒等式（e^iπ + 1 = 0）——最迷人的数学公式（连接了0、1、e、π、虚数i），获得波动性，为熵公式中的e加入虚数因子i，即W = e^(iS2π / h)。

·     第三步，哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi）——经典力学，熵公式中的S需要满足这个方程，即将改写后的熵公式W代入得薛定谔方程。

·     第四步，薛定谔方程——重写字符，熵公式中的W改为Ψ。

以上思路来自：不能说的秘密：薛定谔方程是怎么推导出来的

可见，量子力学描述微观的视角是：热力学熵（概率） + 经典力学（宏观规律）+ 普朗克常数（微观与宏观的连接）+ 欧拉恒等式（物理与数学的连接）——而热力学熵与信息熵又是相互映射的，于是微观是可以“信息化”的。

所以，信息结构与物理结构，在微观极限的抽象之地，其实是可以等同的，并且物理结构，事实上从来都是依靠“信息”来体现其“存在感”的——如人体感知到的“化学信息”与各种工具产生的“测量信息”。

那么，在如此视角之下，再来看广义相对论的时空弯曲——这是一种数学结构与物理结构，相互映射统一的结果。

时空弯曲——是人类感知信息难以理解和接受的，但在数学信息（黎曼几何）上却是可以成立的，而最后物理现象所传递出的观测信息，证实了数学信息的正确性。

这充分说明了，物理世界的运作，一定是会遵循信息结构所固有的逻辑性，而人类的感知信息，也一定会存在某些固有的局限性，以令其无法抵达到“感知”层面以下——那个“抽象之地”的信息世界。

结构、几何与代数

显然，结构的物理现实，必然会呈现出——几何现实，而0和1作为结构的最底层——其实它们构建了几何，于是——几何呈现的关系，也就是代数之间的关系，代数之间的关系也就是结构之间的关系，而关系——则可以通过几何与代数来呈现。

那么，在结构之上的几何与代数，就是一一对应的关系。

于是，有观点认为，代数结构都必须用来处理几何结构，否则没有意义，而几何结构用代数结构来处理，才能到达深刻，因此，代数是工具，几何是本质。

显然，几何结构，充满了宇宙，展现了物质的变化，与物理紧密相连，不可分离，而物理也的确在逐渐——几何化，即：几何开始能够解释各种物理现实。例如：广义相对论中的黎曼几何，量子力学中的希尔伯特空间、群和拓扑，包括弦理论中的线状弦，都是几何化的表现。

事实上，这是因为，几何关联到了物理现实，而代数则被封闭在了（神经现实构造的虚拟现实中的）抽象现实——而它只能通过几何，才能摆脱抽象，传递出结构现实的真实与存在。

由此，我们可以发现，逻辑（即结构固有的关系）会通过代数，映射到几何，最终关联到了（可感知和观测的）物理现实世界。

而现在，有观点认为——理论物理就是新几何，并且新几何终将统一广义相对论与量子力学，即：理论物理最终会被新几何纳入数学体系。

例如，黎曼猜想，就是用几何的形，来考虑对应的数，即：透过形来看数。而黎曼猜想（未证明）与费马大定理（已证明），已经成为（广义相对论和量子力学融合的）弦理论的几何拓扑载体。

弦理论专家——布莱恩·格林（Brian Greene），则认为：“几何学和物理定律，是紧密相连的，它们就像是一副对折开的地图。但真正的形式应该是，物理定律与很多几何，因为可以用不同的方式来看同一个物理系统，如两套几何对应同一套物理定律。至于你愿意使用哪一种几何，是你自己的事情。而有时候，使用某一种几何，就能让你看到更多更深入的东西。”

那么，我们是如何用代数工具，去表达几何本质，并最终解决物理现实的问题的呢？

如果代数是工具，那么工具（包括已有工具、的修改已有工具、发明的新工具）就是一种（由信息自由排列组合创造出的）结构，而现实也是结构，其呈现了几何结构，于是这就是用——创造的构造结构去“撬动并计算”已有的现实结构，从而就形成了新的结构和关系——结果自然就会看到新的逻辑与路径，也就是看到了更多更清晰的现实结构，即问题解决。

数学的本质

如果说一切都是结构，那么一切就都是信息，信息的最小结构是比特，而比特的状态是概率，可见信息和概率是密不可分的。

事实上，真正的概率来自于微观，而信息构建的物质在宏观——是概率连接了宏观与微观，即：微观随机性积累形成了宏观确定性。

那么，这个0或1概率的意思就是——可能0是50%，1是50%，也可能0是25%，1是75%，具体怎么样，是不确定的，也是随机（因为其它信息相互作用而）不断变化的。

显然，来到比特层面，所有的属性都丢失了，这是抽象的极限，即：抽象之地。

所以，在极限处，数学和一切都建立起了联系。

数学连接了心灵感知的抽象与真实世界的具体，一直以来人们都把思想和感受，称之为非现实的虚幻。可是，如果认可了万物皆比特的信息观，那么数学就成为了，从微观到宏观凭借结构与关系，构建连接的通道。

事实上，数学中，那些看似纯粹且高度抽象的部分，是作为数学整体这个“连接通道”的组成局部，为认知和描述所有物理现实而准备和服务的——虽然局部，有时不直接产生效用，但对整体却不可或缺。

例如，费马大定理的结论，对现实世界并没有什么影响，但这个定理证明的过程，却导致了很多有用的数学研究成果（包括结构、技术与思路）的出现，尤其是椭圆方程衍生的椭圆加密算法，就为区块链技术（如比特币）所用。

那么，综上可见，这就是为什么数学是研究结构和关系的，但碰巧数学又可以对一切事物有所应用和描述的原因所在。

曾经，人们觉得坚硬的物质现实，是不以人类的思想和意志（的脑电波）所直接控制和改变的——除非有超能力。

但如果——万物皆比特，那么人的思想和意识活动，其实就是和物质现实，无差别的——信息数据的排列组合和运作，而信息总是相互关联和相互影响的——或许这就是“念念不忘，必有回响”的本质原因所在。

最后，计算机中的数据结构和构建现实的物理结构，从万物皆比特的角度来看——都是无差别的比特结构（即信息结构）。那么显然，计算机是可以模拟一个现实的，而我们的现实可能就是上层“计算机”的模拟。

于是，一切都是嵌套与循环（即分形递归）的。

万物皆比特

著名科普作家——詹姆斯·格雷克（James Gleick），在《信息简史》中，详细的诠释了：

信息与我们的生活、生命、文化、文明、自然、物理、以及机器，等等万物之间的密切关系，而用一句话来概括，那就是——万物皆比特。

对此，格雷克在全书最开始的引言，就抛出了这样观点：

“渐渐地，物理学家和信息理论学家会殊途同归。比特是另一种类型的基本粒子：它不仅微小，而且抽象——它存在于一个个二进制数字、一个个触发器、一个个「是」或「否」的判断里。它看不见摸不着，但当科学家最终开始理解信息时，他们好奇信息是否才是真正基本的东西，甚至比物质本身更基本。他们提出，比特才是不可再分的核心，而信息则是万事万物存在的本质。”

事实上，万物皆比特的观点，最初来自于物理学家——约翰·惠勒（John Archibald Wheeler），在1989年他用了一句颇具神谕意味的、由单音节词组成的句子，表达了一种观点，即：

“It from Bit”（万物皆比特）。

约翰·阿奇博尔德·惠勒（John Archibald Wheeler）——核裂变的先驱、玻尔的学生、费曼的老师、黑洞的命名者、他的研究跨越20世纪和21世纪，与爱因斯坦和玻尔都曾合作过。

这是种极端的观点，完全不唯物：信息第一性，物质第二性。也就是说，任何事物（任何粒子和场，甚至时空连续统），其功能、意义和存在本身都完全（或间接地）源自于——信息比特。

惠勒认为：“我们所谓的现实（reality），是在对一系列「是」或「否」的追问综合分析后才在我们脑中成形的。所有实体之物，在起源上都是信息理论意义上的，而这个宇宙是个观察者参与其中的宇宙。因此，整个宇宙可以看作一台计算机——一台巨大的信息处理机器。”

由此，我们就可以从信息的角度，去解释自然为何看上去是量子化的？——这是因为信息是量子化的，比特才是终极的不可分的基本粒子。

于是，当光子、电子以及其它基本粒子发生相互作用时，它们实际是在做什么呢？——其实是在交换比特、转化量子态以及处理信息，而物理定律就是处理信息时所用的算法。因此，每一颗正在燃烧的恒星、每一个星云、每一粒在云室中留下幽灵般痕迹的粒子，都是一台信息处理器，而宇宙也在计算着自己的命运。

甚至通过计算，惠勒认为：“整个宇宙的比特数，无论以何种方式计算，都是 10的一个很大次方”。而根据塞斯·劳埃德的说法，宇宙的运算能力：“不会超过在10^90个比特上执行10^120次基本逻辑运算。”

那么，对于仍然未知神秘的量子纠缠——它也一定是比特编码信息的表现，而这里的比特，很可能就是量子力学所对应的——量子比特（qubit）。

而M理论（即弦理论的上层理论）的构造者，物理学家——爱德华·威滕（Edward Witten），在接受格雷厄姆·法梅洛（Graham Farmelo）采访时，曾这样说道：

“如果你问我，除了宇宙学之外，另一个类似八九十年代的重大理论动荡，最可能的方向是什么，我认为量子比特（it from qubit） 、几何图像、及量子纠缠三者之间的关系，这些是最有趣的方向之一。而到最近几年，我开始确信它很可能是「万物皆量子比特」，虽然我现在还不是这方面的先驱。我不是第一个得出这个结论，或持有这种怀疑的人，但是无论如何，这就是我的观点。”

或许，宇宙大爆炸就是比特大爆炸。

再看几何：突破三维屏障

在最开始，纯粹的几何，是作为具体的实体来考虑的，例如：点、直线、曲线等等。而解析几何只是提供了一组数或方程，来描述这些几何实体，以及使用代数或解析的方法，来解释和发展几何理论的。

但随着时间和研究的推移，几何与数的映射发生了翻转，数“XZY”被看作基本的对象，然后这些对象被具体化为几何实体（如直线、平面、空间）上的点。从而几何本身变成了一种描述语言——用来描述数与数之间的关系。

结果，有趣的事情发生了，纯粹几何具象着现实之物，所以只有3维，但解析几何的线性方程，其许多代数性质在本质上，是和所涉及的变量个数无关的——也就是与变量空间的维度无关。

那么，解析几何就可以描述3维以上的几何空间，就是超平面空间——这是纯粹的数学概念，而不是现实的物理概念。

而从纯粹的几何角度，来看：

·     3维的体，可以由2维的面组成，但面需要去除空间折叠信息，并增加顶点的信息冗余；

·     2维的面，可以由1维的线组成，但线需要去除了旋转信息，并增加线顶点的信息冗余；

·     而1维的线，可以由无数个0维的点组成，这时候点的信息冗余度无限大，但却由微观构建了宏观，从无限构建了有限。

那么，由“点、线、面、体”，就可以从“0、1、2、3”维构建出“无限N维”，只不过其过程是在减少某些信息，增加某些冗余信息。

综上可见，是视觉系统（大脑的空间感知能力）限制了人类对高维空间的理解，但数和其代表的信息，却可以打破维度屏障，抵达不可想象的宇宙本质——或许这就是抽象的极限，0和1的比特世界。

弦理论专家——布莱恩·格林（Brian Greene），曾说道：“合理地描述这个世界，只凭我们能感知的3维空间是不行的，需要加入有着错综复杂几何形状的额外维度。”

最后，几何上的降维——立体压成平面，平面拆成线段，线段细化成点——这个过程产生了大量的冗余，也就是重复的数据和信息，那我们作为3维生物，是否会出现高维度的冗余呢？那是否可以把，信息的冗余就看成是高维度，进行降维的产物呢？

从程序看待数学

如果把大脑比作一台计算机，大脑的生理结构是硬件，思维活动是软件，那么数学可以看成是一种算法，运行在大脑这个虚拟机之上。

这个算法可以使用存储在大脑神经网络中的结构和关系，可以自动定理证明的过程（寻找更多的结构和关系），还能够自我学习归纳总结和逻辑推理。并且这个算法是随机运行的，可以无限的从环境中筛选出经过排列组合的信息。

这个算法在人脑中，就是自我意识、学习总结、逻辑推理的源泉，这就是数学——连接了心灵感知的抽象与真实世界的具体。

同时，这也体现了一个观点，数学的发展是随机的对环境信息不断过滤和筛选的结果。这里的随机，是指没有目的和没有终极目标，充满猜想以后验证猜想的过程。这样基础结论就会越来越多，能推导的结论就更多，没有尽头和上限——这或许就代表了上层（宇宙）环境信息无限。

而事实上，正是数学的随机猜想与发展，所带来的无限多的、随机组合出的结果与结论——这些其实都是数据，支撑了上层结构的迭代与构建，提供了上层发展所需要的信息与工具。

但这个随机性，也给数学带来了一个问题，即：正确的推理与正确的结论，未必就可以抵达那个我们所期望的终极答案，因为随机路径未必就是，指向终点的路径。

另外，编程上的函数，其实可以看成是对现实的抽象计算，或许大脑中的计算也是如此运作，那么大脑就是一个被编程的可编程实体——生物计算机，且我们又可以在计算机中编程一个世界，显然统一所有一切的是——递归、计算与编程。

最后，我认为机器智能，将会带来——新数学，这就像是智能从人脑“转移”到了机器之中——顺带着数学就进化成了新数学，而这依然是一个迭代，即：数学构造了人工智能，人工智能通过数据构造了机器智能，机器智能进一步又构造了新数学。

结构与熵的关联性

熵，有序无序，这个序是什么，为什么要存在序。字面意思是存在区分可以排列，如果无法区分也就没有序。

如何才能区分，这就是结构，序就是结构及其形成的关系。有了结构和关系，就有了属性，属性就可以被测量、观测和感知。很多结构聚集在一起就形成了宏观物质，产生了可被测量的质量。所以，如果检测不到质量就没有了所谓的序。

那么，拥有结构就会与环境中的其它结构相互作用，所以无法达到光速，而不同结构之间的相互作用就形成了物质之间的力。没有结构，就没有结构之间的相互作用，所以速度就可以抵达光速（如光子没有质量，所以是光速）。

人类在试图创造有序，就是创造新的结构，产生新的属性和功能。但宇宙整体变的无序，就是整体结构（质量）在下降，即把可利用能量消耗掉，剩下不可利用的无序能量，形成一种没有结构（质量）的无序状态——熵（包括热力学熵与信息熵）度量了这种状态。可见人类虽然创造了新的结构（创造负熵），但过程中却消耗了其它更多的结构，所以局部在变得有序，而整体依然在变得更加无序（创造熵增）。

那么无序，也就是无法区分排列，也就是失去结构和关系、丢失属性。姑且认为纯能量，即无序化能量（无质量、无结构只有运动的状态）是会发生“大爆炸”的，接着形成一个质量无限大、体积无限小的奇点——这就是新宇宙的最开始，一个新循环的开始。

关于宇宙的结局，这只是一种假设，目前还没有定论，另外还有些假设是：热寂平衡、大撕裂或大收缩。

所以，宇宙的方向或说是趋势，就是消耗能量增加熵值，即质量转化为能量（质能方程）——形成无序化能量，也就是由有序到无序的变化。那么消耗能量，其实就是消耗质量的意思，其中能量即是微观的运动，只有运动没有质量的代表就是光子。但光子有速度，就会有动能和动质量。

公式：E（能量 ）= h （普朗克常量）* v（频率），用来计算微观粒子的能量。由此可见，微观粒子的能量是和其波粒二象性中波的频率成正比的。而频率代表着粒子单位时间内，周期性变化的次数。这个粒子的变化，就可以看成是粒子某种形式的运动，那么能量在微观处就是和粒子的运动相关联的。

事实上，熵有一个简单直观的理解——就是代表了孤立系统中，无序程度（即随机性）的度量，也就是不可用能量的度量。

或更通俗地说，著名物理学家——玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann），认为熵只不过是计数不同的可能性。

孤立系统（Isolated System）——是指既没有物质交换，也没有能量交换的系统。
封闭系统（Closed System）——是指没有物质交换，但有能量交换的系统。有时可以把封闭系统，和其所影响的环境系统，一起看成一个孤立系统；或把暂时没有能量交换的封闭系统，暂时看成一个的孤立系统。

那么，无序、没有结构、没有质量，即意味着没有可以利用的能量。而熵增无序，也就是实验总结出的热力学第二定律——能量转化必然会带来损耗——的一种修正形式。其中这个这个损耗——就是熵增无序的原因与结果。

但需要注意的是，熵是一个宏观统计学概念，熵增也是一个宏观统计结果，那么在微观是可能随机到熵减的，并且在宏观也有微乎其微到几乎不可能的概率随机到熵减。

由此可见，人类的工作（包括运动）和思考都是在创造局部有序，需要系统外部持续供应能量才能维持。而能量不足就会缺乏行动力，因为大脑和身体结构自发无序会降低驱动力——让人想要节省能量，产生行动的阻力感，所以宇宙熵增就是人们懒惰的本质原因。不过，在有能量供给的情况下，智能和本能，当然是可以对抗局部熵增，产生熵减的。

而万事万物的演化，都是结构的随机试错，在环境压力，即宇宙熵增的驱使下，筛选和塑造的（涌现）结果。那么，熵增就会筛选出最善于创造熵增的结构，比如人类（创造局部有序熵减，向全局释放更多无序熵增），而未来则是人工智能（机器智能）。

那么，在宇宙熵增驱使下的随机试错，其实就是一种算法——宇宙的算法。而算法的本质就是：对结构关系演变的捕获和逻辑性描述。

万物的本质

在普朗克常量的尺度上，时间和空间都是非连续的。也就是说，一切物质的构建基础，在微观就是量子化的数据。而正是这些量子化的数据，通过排列组合的积累效应，才最终呈现出了宏观的连续性。由此可见，从微观到宏观，从非连续性到连续的过程，就是一个从量变到质变，从0到1的积累过程。

那么可以想象，是数据流过层层结构，被层层过滤，形成了不同的排列和组合，这就产生了多样性。而数据会构建组合出新的结构，结构又会塑造数据的组合和路径，这就产生了自组织性。

那么必定会有无数，我们看不见和无法感知的结构存在，但数据经过不断地随机组合和筛选过滤，最终就形成了我们和如今我们所看到的一切。然而，随着时间的推移，数据终将会排列组合出一个终极结构。 同时，数学和信息，也将会一同抵达那一个终极结构。

而这种一切都由最基本结构比特，所递归构建上层结构的形式，是一种分形。所以，宇宙万物都是由分形递归来构建的，这同时也是一种循环，我们的世界和宇宙并没有无限，只有循环，而循环就是一种无限。

分形——通常被定义为一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的性质。

最后一个问题的答案，即是第一问题的开始——开始就是结束，结束就是开始，问题的终结就是循环的开始——那么，分形递归即是终极答案。

One More Thing：逻辑

数学与逻辑的关系是微妙的，前面的论述已经说明：逻辑是结构和关系所固有特点，有结构就会有关系也会有逻辑，有逻辑必有关系也一定有结构。

这里还有几个视角去看待逻辑：

第一，逻辑是公理体系推理和演绎的过程和基石。但数学的一些结论和定义，是不需要逻辑参与的。

·     比如，已经被证明的结论和公式，独立来看其本身是没有逻辑的，对其证明的过程才能体现出逻辑。

·     再比如，公理假设，是不需要证明的。因为这是最基础假定正确的前提，其论述必然不需要逻辑，而只需要的是共识和直觉。

·     还有人为的定义，如自然数（非负整数）——是没有逻辑可以导出自然数的，其本质就是人为的规定。

事实上，自然数是涌现于映射现实的计数需要，但自然数也是不断发展的，比如0这个概念的从无到有，还有偶数、奇数、质数、合数等概念的扩展。

于是，这就牵扯到另外一些人为的定义——比如虚数和0不能做分母等等，这些定义需要遵循公理体系的原则，即不能违背相容性，所以这些定义其实是有逻辑的。

第二，我们如何去表达描述这个逻辑，无论是数学语言，还是人类语言，逻辑需要依附于结构，才能形成可理解的信息去传递自身。

第三，可以说局部来看，逻辑是完备的，但更全局的视角就会出现逻辑悖论。就像欧式几何局部来看是完备的，但在更全局的视角上，其平行公设是有问题的，因为在非欧几何里平行公设不成立。从此也可以看出，欧式几何直接给出的5大公设，是没有逻辑的，而只有直觉上是正确的。

所以，可见逻辑是不能脱离结构独立存在的，有逻辑就有结构，有结构就会有逻辑，不同的角度看，就会觉得结构是本质，或是逻辑是本质，其实它们是不可分割的。

结语

本文并没有涉及到任何数学公式，有关数学的概念也都是笼统又概括的。就如本文开头所说，数学领域是庞大而巨细、繁杂又艰深的，任何一个细分领域，都足以耗费一个人几十年甚至一生在其中慢慢去研究的。

但越是具体，越是深入到细节，就越是局部，也就越无法解答数学本质——这个整体全局的视角下才能看清的问题。

我想是数学游戏的规则，注定了数学只会越来越博大精深，而数学复杂和难度，又让人们不敢轻言其本质，甚至有可能不相信这么个多面变化之物，真的会有一个稳定不变的和可以被理解的终极本质。这就如同哲学上思考，人类是否能够完全理解宇宙一样。

本文只是一种视角和理解，并从逻辑上完整详细的给出了——“万物皆比特”的推理和认知路径。那么，如果认可了——数学的本质是一门语言描述了结构和关系，那么以上这一切就都可以“自圆其说”了。

最后，数学语言——不仅是计算的工具，更是思考的工具，不仅提供了视角，更表达了思想。

后记1：数学语言

事实上，数学并不复杂——复杂意味着，冗余、重复、真真假假、对错充满了概率——相反，数学是确定而简洁的。

那么人们觉得数学复杂，其实是因为大脑中，缺失了逻辑推理路径上的信息积累——其中包括各种符号背后的压缩信息，以及推动逻辑结构形成和移动的上下文信息，并且人脑的进化机制是基于模糊的概率，而不是精确的计算，这让我们难于记忆和使用“数学语言”去阅读、思考和理解——所以，需要花费一定的时间进行必要的训练，才能在大脑中生成不曾有的、拥有特定功能的神经结构。

那么数学的简洁，是在于没有冗余，逻辑合理成立的路径上，每一步都环环相扣的彼此依赖，并不需要额外的关联与发散，直指目标，最终抵达某个信息排列组合的必然呈现。

而从某种角度来看，简洁是逻辑的必然，也是我们掌握、理解和使用数学的必要——要知道，再强大的力量，如果不能控制自如，那么也等于从未拥有。

那么，我们之所以如此的依赖数学，而数学也毫不令人失望地展现了巨大的威力与力量，这一切都在于——数学语言所刻画、呈现、描述的逻辑性，是万物结构内在的关系，它可以一定程度地预测未来。

而预测未来，就是我们文明和一切的基石，也是智能的体现，它指向了通向未来的路径——是的，预测创造了预测的未来！

最后，数学语言——连接了具体与抽象、真实与模型、现象与本质，即：具体的真实现象与抽象的模型本质。